一个奥秘且不堪设想的微分现实是，咱们的游戏利用宇宙遵守的天然律终究总能用微积分的说话和微分方程的情势抒发出来

——《微积分的气力》
游戏数学建模的现实任务约莫分为两块，一块是经济建模根据体系法则投放战役属性与经济产出的详细值，另外一块是微分设定生长或玩耍节拍，即玩家若何随时候取得这些战役属性与经济产出。游戏利用前者是经济建模个简略题目，本文不关怀，微分后者可以或许或许用微分方程建模。游戏利用

比喻性的经济建模说，游戏的微分全部数据犹如咱们做了一大块蛋糕，蛋糕自身供给鼓励与快感（战役属性与经济产出的游戏利用详细值、游戏奇妙的经济建模弄法设想与剧情），同时咱们会因玩家吃下蛋糕而赐与嘉奖（耗损掉经济产出取得战役生长或表面颜值）。微分咱们不能让蛋糕太快被吃完，游戏利用是以需节制玩家在时候轴上若何吃这块蛋糕，经济建模此次吃几多下次又吃几多（设定生长与玩耍节拍）。明显这便是微分方程可以或许或许描绘的：

dy=f(y,t)  dt
也便是说某时候点吃掉的蛋糕是这整块蛋糕的一个变更值。我决议在以后利用蛋糕的比喻，这可以或许或许省下由于差别一而冗杂的数值用语。另外，本文因循《游戏数学建模工程手册》里的气概，尽可以或许或许利用工程数学的论述体例，从而免除那些无谓的非专业争辩。

起首咱们必须对游戏体系做一些定性懂得，而后试着用定量模子描写它们。玩家初始打仗游戏并不能取得蛋糕被吃下赐与的嘉奖，即：

y^' (t=0)=0
y(t=0)=0
这称微分方程的初始前提。对战役属性，脚色不可以或许或许初始为0，它属于微分方程一个解的常数C＞0。接着，游戏内容在绝大大都环境下是无限的，比方脚色最高等打最高等的怪，这个怪的掉落是恒定的，是以在天天的24小时里击杀怪物发生的掉落是一个恒定值；再如主线关卡只设想了20章节，玩的充足久的玩家再怎样打也只能天天反复取得20章节的产出，因而：

y^' (t→∞)=M
换言之，玩耍时候充足长，由于游戏内容设想的无限性逐日产出是一个常数M，这称微分方程的边境前提。咱们须要一个微分方程模子，可以或许或许包容这2个描写了游戏体系纪律的前提。我给出的模子是：

dy/dt=a⋅tanh⁡(⁡b⋅t)

即假定蛋糕天天被吃的环境与双曲正切函数成反比，双曲正切有以下图像：


此中a和b是待解参数，t为时候，t=0时为0，t趋于无限大时=1，全部方程趋于参数a。这象征着a和b不是2个纯真的参数而是具有了现实意思，参数a表现一个游戏体系设想内容无限，b节制t的终究值表现该体系的消耗速度，b越大越快趋近于a，将更快达到该游戏体系的无限内容。另外一种建模计划是：

dy/dt=a⋅(1+e^(-b⋅t) )^(-α),   α>0
这是狭义logistic模子，一个得当的α值在0点四周让蛋糕天天被吃的环境是迟缓增添而非双曲正切那样近乎线性增添。这个微分方程没法用初等函数写出剖析解，拟合参数a、b、α需用差分法迫近导数值，计较时要在excel内行写龙格库塔算法，是以简洁起见先于双曲正切模子下会商。

咱们取得以下剖析解：

y(t)=a/b⋅ln⁡[cosh(⁡b⋅t)] +C

若计较的是脚色的战役属性生长，则C即是脚色初始属性，对本文会商的经济建模而言不须要C，可是C若是有赋值，申明是一个残局就因付费或其余缘由取得些许蛋糕的玩家，如WOW里的传家宝、老玩家约请新玩家赐与新玩家的嘉奖。y、y的一阶导和t咱们是晓得的，用以拟合出未知参数a与b，精确的说是咱们去计划玩家天天吃掉蛋糕的详细量。以下是一个现实例子：


这个游戏体系的法则是每波战役有差别范例与数目的怪物，每一个怪物被击杀令脚色取得进级经历、金币或其余经济道具，差别范例的怪物有着差别的经济产出值。图里仅考查前20波，带领或咱们是不可以或许或许细致计划这个脚色的1级至28级详细在哪一波（若是这个体系要玩365天，脚色有100级，这只会累死）。是以现实任务中只能计划关头节点，即图里的第1、2、10、15波希冀的脚色品级是几多。图中第1列是面临第n波怪，即战役还没有起头，前波战役已竣事，第3列是统计前一波被击杀的怪物合起来的产出值，即y的一阶导详细值，第4列是前n波被击杀怪物合起来的产出值，即y的一个详细值。将该设定以{ 0， 0}，{ 1, 17}…{ 4, 149}，{ 19, 5265.3}的矩阵情势输出给matlab、mathematica等数学软件，拟合剖析解抒发式可求出a=0.83104，b=0.038109。此刻，咱们比对微分方程建模究竟比其余方式有多好：

上图左侧地区表现升到这个品级须要的经历值，别离是微分方程、三次样条插值和分段线性插值的估量成果，三次样条插值是用分段三次多项式迫近蛋糕随时候被吃掉的环境，分段线性插值是大大都数值筹谋会很天然想到的方式。右侧地区利用残差平方和权衡模子的黑白，详细计较是用3个模子取得的积累值与关头节点的积累值相减后平方。可以或许或许看到微分方程模子与咱们想要的节拍计划偏差最小，其次分段线性，最初是三次样条。但是分段线性计较详细品级须要几多经历的成果是极为诡异的，现实任务中还要对成果各类修修补补。从现实阐发角度，分段线性插值是一个步长很大的欧拉数值积分，而欧拉法在数值解微分方程时是精度最差的，偏差随步长扩展加重，是以分段线性是一个很差的模子，三次样条绝对好些，可以或许或许看到图中左侧地区与微分方程的每一个成果靠近水平较高。

注重参数a的值，后面的建模阐发里咱们可以或许或许晓得a该当拟合出刚好是这个游戏体系在t趋于∞时的值才对，为甚么是一个小于1的数？缘由在于咱们的游戏体系不论是战役仍是经济数目级常常较大，可在后期时数目级又出格小，则b必须是一个出格小的值才可以或许或许和a相乘后取得数目级小的值，一个出格小的值对计较机是不友爱的，截断偏差会不可防止的积累形成毛病成果，这影响了计较不变性，需将关头节点矩阵的值过度减少再求拟合，利用时乘回减少系数便可。

此刻，让咱们细心考查吃蛋糕的微分方程建模。注重看，咱们的带领请求第4波可以或许或许从3级升到5级，但是关卡筹谋投放的怪物满打满算上去才供给44点脚色经历，怎样可以或许或许分给4级和5级，却仍比3级的25.5高呢？咱们应当让关卡筹谋增减这个处所的怪物数目、范例吗？明显分歧现实。咱们应当去点窜这个关卡的详细怪物给几多脚色经历、金币和其余经济道具吗？一样分歧现实，由于那些怪物不是只需本关才用到，在后面的波次、后面的一些波次可以或许或许有被用到。即只需某日的产出与后面几日的产出“同享”一局部产出泉源，就象征着吃蛋糕的计划细节，不论是谁来计划，都暗含了客观、一厢甘心，这类一厢甘心体此刻与客观的怪物数目、产出法则有抵触。因而，咱们利用的建模方式，实在质意思在于折衷、让步，用更公道的模子去尽可以或许或许靠近吃蛋糕的计划细节，实在的吃蛋糕计划一定存在一些节点是“非常值”，计划的节点越多“非常值”就越多，这也是为甚么麋集计划首要在后期，成果后期更轻易呈现分歧理的缘由。换言之，那些计划节点不老是合适逻辑、合适客观的，不能随意去强行往上靠，使偏差为0，使战役与经济完整从命这些计划。微分方程的计较成果主动地、尽可以或许或许多地批改了这些非常，但又尽可以或许或许切近现实想要的（残差平方和最小），微分方程的建模思绪让咱们更深刻熟悉了吃蛋糕的计划与蛋糕自身之间的干系。

巴比伦派数值筹谋：813299364